Modelo livre de escala generalizado

Introduzimos no artigo anterior o modelo BA para geração de redes fictícias que tenham a propriedade de serem livres de escala. Contudo, para um estudo aprofundado destas redes trabalharemos com um modelo Barabási-Albert Generalizado (GBA) que passaremos a descrever aqui.

O modelo GBA difere do modelo BA pela possibilidade de iniciarmos com uma rede diferente. No modelo descrito anteriormente iniciamos a rede com apenas 3 nós e 3 arestas, já no modelo GBA dizemos que a rede inicial terá $n_0$ nós e $m_0$ enlaces. Ao todo, serão adicionados, portanto, $n-n_0$ nós. E a quantidade final de enlaces na rede é dada por

$m = n\Delta m + m_0 - \big(\frac{\Delta m^2 + \Delta m}{2} \big) - \big(\frac{n^2_0 - n_0}{2} \big)$

Se a rede inicial for completamente conectada temos que

$m = n\Delta m - \big(\frac{\Delta m^2 + \Delta m}{2} \big)$

e quando $n \gg \Delta m$ temos que

$m \simeq n\Delta m$

Assim como no modelo BA, no modelo GBA, a anexação preferencial se encarrega de direcionar (de forma probabilística) a ligação dos novos nós aos nós mais conectados, aumentando assim o seu grau e a sua probabilidade de ser selecionado na próxima interação. Logo, quanto mais nós, maior será o grau do Hub, conforme ilustra a figura abaixo. Esta figura mostra redes GBA criadas com $n_0=3$,  $m_0=3$, $\Delta m =2$ (nomeado como $Dm$ na figura) e diferentes valores de $n$.

Além da rede gerada, a figura mostra ainda o grau médio (DegAvg) e o grau do Hub (DegMax). O principal ponto a se observar neste resultado é que o grau do Hub tende a crescer com o aumento de $n$, mas o grau médio permanece praticamente o mesmo, já que a quantidade de enlaces por cada novo nó adicionado não se altera. 

Por outro lado, mudando o valor de $\Delta m$ poderemos observar que quanto maior o valor de $\Delta m$, maior será o grau do Hub. Isto pode ser observado na figura abaixo que mostra redes GBA geradas a partir de diferentes valores de $\Delta m$. Além da rede gerada, a figura também mostra o grau médio e o grau do Hub em cada caso, os quais tendem a crescer com o aumento de $\Delta m$, já que teremos mais possibilidades de escolher o Hub no momento da conexão.

Outra observação que podemos capturar destes resultados é a forte discrepância entre o grau máximo e o grau médio nas redes GBA, que se deve à forte assimetria na distribuição do grau destas redes, a qual é uma característica de redes livre de escala, como já vimos. Em próximos artigos veremos esta característica das redes GBA em maiores detalhes.