Aglomeração em redes GBA

Vimos anteriormente que a principal característica das redes GWS, modelo alternativo ao que estamos estudando, é aliar um alto coeficiente de aglomeração com um baixo tamanho médio de caminhos, o que as torna úteis para modelagem de redes reais. Vimos ainda que esta característica é emprestada da estrutura da rede k-regular inicial e que o processo de religação aleatório do modelo GWS faz com que esta característica seja paulatinamente perdida.

Contudo, vimos que as redes GWS não capturam bem a distribuição do grau livre de escala das redes reais, sendo esta uma propriedade muito clara das redes geradas pelo modelo GBA. Assim, dando continuidade à nossa exploração das redes GBA, iremos neste artigo verificar como se comporta o coeficiente de aglomeração nestas redes. Será que conseguimos ter todas as propriedades reunidas em um só modelo?

Voltando para a rede GBA, com o aumento do tamanho da rede (aumento de $n$), para um $\Delta m$ fixo, o coeficiente de aglomeração de uma rede GBA tende a diminuir conforme ilustra a figura abaixo. Esta figura mostra o coeficiente de aglomeração medido em redes GBA com um número variável de nós ($n=50,100,150,\ldots,400$), com o valor de $\Delta m$ fixo em 5 e 10. 

O comportamento geral deste resultado pode ser explicado porque conforme adicionamos mais nós, com uma quantidade fixa de enlaces por nó, a probabilidade de conectarmos o novo nó a dois nós já conectados entre si tende a ser menor.

Além dos valores medidos nas redes fictícias geradas pelo modelo GBA, o gráfico acima mostra linhas com o resultado de uma aproximação para o coeficiente de aglomeração em redes GBA. Esta aproximação é apresentada no artigo Growing scale-free networks with small-world behavior de Klemm e Eguíluz, publicado em 2002 no periódico Physical Review E. A equação de Klemm e Eguíluz é dada por

$CC = \frac{\Delta m (\ln(n))^2}{8n}$

Por meio da equação e do gráfico, vemos que conforme $n$ aumenta, o coeficiente de aglomeração das redes GBA se aproxima de zero. Em outras palavras, o coeficiente de aglomeração é muito menor do que o encontrado em redes reais. Para uma rede com $n=4000$ e densidade de 1,8% ($\Delta m = 36$), por exemplo, o coeficiente de aglomeração é de aproximadamente 0,08. Comparando este ao valor de $CC$ da rede Facebook ($CC = 0,262$), que estudamos anteriormente e que tem características similares ($n=3.898$ e densidade de 1,811%), vemos que a diferença é bastante acentuada.

A equação nos mostra, por outro lado, que com o aumento de $\Delta m$  – resultado mostrado na figura abaixo – o coeficiente de aglomeração tende a aumentar. Isso decorre do fato de que existem mais enlaces para adicionar à rede, o que aumenta as chances de conectar o novo nó a dois nós já previamente ligados.

Como se pode notar no gráfico, embora não seja um modelo tão bom para redes com $\Delta m$ grande, o impacto deste parâmetro na qualidade do modelo tende a diminuir conforme aumenta o tamanho da rede, isto é, a precisão do modelo melhora em redes grandes com densidade mais baixas, o que é mais comum quando estamos comparando com redes reais. Desta forma, pode-se usar esta aproximação para termos uma estimativa do coeficiente de aglomeração em redes GBA.

Como vimos neste estudo, o modelo GBA não consegue gerar uma rede com coeficiente de aglomeração comparável ao encontrado em redes reais. Para lidar com essa deficiência existem outros modelos que foram introduzidos ao longo do tempo. O próprio artigo de Klemm e Eguíluz apresenta um destes modelos que, a partir da ideia do envelhecimento e desativação dos nós, consegue reproduzir bem as características de uma rede livre de escala, com alto $CC$ e caminhos curtos.