No artigo anterior, mostramos que o modelo GBA consegue produzir redes fictícias livres de escala. Mas e quanto a outras propriedades? As redes são conexas? Elas possuem caminhos curtos? Têm um alto coeficiente de aglomeração?
Sobre a primeira pergunta, e tomando o próprio processo de geração das redes GBA, vemos que as redes geradas são sempre conexas. Isto ocorre porque a rede inicial é conexa, e todas os nós subsequentes se ligam a esta rede inicial, mantendo-a conexa ao longo de todo processo. Nestas redes, portanto, existe uma única componente conectada.
Em outro artigo trabalharemos o aspecto do coeficiente de aglomeração, neste queremos nos dedicar à questão dos caminhos curtos.
Olhando o tamanho médio do caminho, conforme mostra a figura a seguir (tamanho médio dos caminhos de redes GBA de tamanhos diferentes vs o grau médio, com $n_0=m_0=3$), podemos dizer que a rede GBA possui caminhos curtos os quais diminuem de forma não linear à medida que o grau médio da rede aumenta. Inicialmente, um pequeno aumento no grau médio leva a uma grande redução do tamanho do caminho, contudo, essa redução tende a ser cada vez menor conforme o grau médio assume valores mais altos.
Este resultado é explicável pelo fato de que um grau médio maior implica necessariamente em um $\Delta m$ maior, isto é, a quantidade de enlaces criados cada vez que um nó é adicionado à rede é maior, o que leva a caminhos menores, já que muitos nós tendem a ficar conectados diretamente. Outro aspecto observável por meio do gráfico acima é que o aumento do tamanho da rede aumenta o tamanho médio dos caminhos na rede GBA.
O fato deste tipo de rede ter baixo TMC é bastante intuitivo. De modo análogo ao que acontece em redes de transporte urbano, os nós de alto grau destas redes tem o mesmo papel de uma estação central que interliga diversas estações satélites, sendo a estação central a rota mais curta para muitos destinos. De fato, os nós de maior grau são tipicamente aqueles com o maior nível de intermediação (betweenness).
Na tabela abaixo mostramos os top-5 nós de maior grau e os top-5 nós por betweenness de uma rede GBA gerada com 3.000 nós, $\Delta m = 4$ e $n_0 = m_0 = 3$. Como se pode observar, excetuando uma inversão no primeiro e segundo lugar de cada ranking, os nós de maior grau são também aqueles com maior nível de intermediação, o que confirma nossa intuição inicial.
Para estimar o tamanho médio do caminho em redes GBA, podemos usar o mesmo modelo de tamanho médio do caminho empregado nas redes aleatórias $\frac{\log{n}}{\log{\lambda}}$. A Tabela a seguir compara o tamanho médio do caminho obtido por simulação com o valor estimado pela equação para redes de tamanhos diferentes ($n=200$ e $n=400$) e com diferentes valores de grau médio $\lambda = 4 \ldots 30$, mostrando o comportamento do TMC para diferentes valores de densidade.
Como se pode notar, o modelo aproxima bem o comportamento geral da curva, apresentando apenas um pequeno erro quanto ao valor do TMC. O valor absoluto do erro para estes casos é, em média, menor do que 1, o que permite o uso deste modelo em diversos casos.
Em próximo artigo discutiremos o comportamento do coeficiente de aglomeração. Até lá.
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